写真、短歌、日々の思ったこと。
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2007年04月30日 (月) | 編集 |
最初に書いておきますが、これ、自分で解いてません。
因数分解できなかったのでDVDを見て書いてます(泣)
やり方を覚えてあとは数をこなさねば・・・。

[B-3]次の式を因数分解せよ
(1) (2a+b)2-(a-3b)2
  =(4a2+4ab+b2)-(a2-6ab+9b2)  ←まず、展開する
  =4a2+4ab+b2-a2+6ab-9b2
  =3a2+10ab-8b2

 展開したら、タスキ掛け算する。
  3a2+10ab-8b2
  ↓       ↓
  3      -2   
      ×          3=3×1-8=-2×4を発見
  1       4 
 1×-2     3×4     ←タスキ掛け算する
=-2       = 12
 -2   +    12 =10  ←ここの答えが10abの10になればOK

答えは(3a-2b)(1a+4b)、
つまり(3a-2b)(a+4b)となる

■でも、もっと楽なやり方もある。
  (2a+b)2-(a-3b)2  ←この式が2乗-2乗であることに気が付けば・・・
  2a+b=A 、a-3b=B と置き換え、
  A2-B2 にできる

  A2-B2=(A+B)(A-B)   乗法公式(1)-2和と差の積の公式

  {(2a+b)+(a-3b)} {(2a+b)-(a-3b)}  置き換えたものを戻し計算
 =(2a+a+b-3b)(2a-a+b+3b)
 =(3a-2b)(a+4b)          ←因数分解完了


(2) a16-b16 を因数分解せよ
  a16=(a82 、
  b16=(b82にできる。  ←指数法則(amn=amn を使用
  =(a82-(b82     ←よく見ると、a2-b2という2乗の式になってる

  =(a8-b8)(a8+b8  乗法公式(1)-2和と差の積の公式を使う
  =(a42-(b42(a8+b8)  ←(a8-b8)部分がまた2乗の式に
  
  =(a4-b4)(a4+b4(a8+b8
  =(a22-(b22(a4+b4)(a8+b8)  ←同じ要領で進める

  =(a2-b2)(a2+b2(a4+b4)(a8+b8
  =(a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)(a8+b8

ちなみに、
(a2+b2)(a4+b4)(a8+b8の部分がこれ以上因数分解できないのかと疑問だったのですが、実数の範囲では出来ないとのことでした・・・。
理由は不明・・・スッキリしない><


(3) a3-b3 を因数分解せよ

つまづきました。
DVD見ても理解不能。

  an-bnの式なので、乗法公式(3)を使う
   a3-b3
  =(a-b)(a3-1+a3-2b+ab3-2+b3-1
  =(a-b)(a2+ab+ab+b2
  =(a-b)(a22ab+b2

↑間違ってます><
DVDで先生は、
乗法公式(3)
(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+……+a2bn-3+abn-2+bn-1)=an-bn


の、(an-1+an-2b+an-3b2+……+a2bn-3+abn-2+bn-1
の中は全てn-1次になると言っていた。
この場合3-1次=2次なので、2次になるものを全て入れた。
   (a-b)(a3-1+a3-2b+ab3-2+b3-1
  =(a-b)(a2+ab+ab+b2

後ろのカッコのなか、ちゃんと全部2次になってる。
けど答えは(a-b)(a2+ab+b2)。
abが一個多い・・・。
なんでだ・・・。

なんで?って思わずに、
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2
を公式として覚えるのが賢くて効率の良いやり方なんだろう。
でも気持ち悪い。
分からなくて朝からずっと検索。
イライラしているから、イライラ罰金500円を入れる。


(4) x2-x-6 を因数分解せよ
タスキ掛け算する。
  x2  -x  -6
  ↓       ↓
  1      -3   
      ×          1x2=1x×1x-6=-3×2を発見
  1       2 
 1×-3     1×2     ←タスキ掛け算する
=-3       = 2
 -3   +    1 =-1  ←ここの答えが-xの係数-1になればOK

答えは(x-3)(x+2)となる


(5) 6x2-5x-6 を因数分解せよ
タスキ掛け算する。
  6x2  -5x  -6
  ↓       ↓
  2      -3   
      ×          6x2=2x×3x-6=-3×2を発見
  3       2 
 3×-3     2×2     ←タスキ掛け算する
=-9       = 4
 -9   +    4 =-5  ←ここの答えが-5xの-5になればOK

答えは(2x-3)(3x+2)となる

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2007年04月26日 (木) | 編集 |
問題B
[B-1]次の問に答えよ
(1) (2a+3b)+(3a-2b) を計算せよ
  =2a+3a+3b-2b
  =5a+b

(2) (2a+3b)-(3a-2b) を計算せよ
  =2a-3a+3b+2b
  =-a+5b

※上の2つの問題で、初学者が良く間違えるのはどんな点か
同類項を計算せず、違う項とごっちゃになること。
カッコ前の-を+にする際、カッコ内の符号を変えるのを忘れること。


[B-2]分配法則
      A×(B+C)=AB+AC, (A+B)×C=AC+BC
      を用いて、次の問いに答えよ

(1) (2a-b)3 を計算(展開)せよ
  =(2a-b)(2a-b)(2a-b)    乗法公式(1)-1の-の方を使うのも可
  =(2a-b)(4a2-2ab-2ab+b2)  私は計算間違いしそうなので一個ずつ。
  =(2a-b)(4a2-4ab+b2
  =8a3-8a2b+2ab2-4a2b+4ab2-b3
  =8a3-12a2b+6ab2-b3

(2) (a+b+C)2 を計算(展開)せよ
  =a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca  乗法公式(2)-2を使う

テーマ:数学
ジャンル:学問・文化・芸術
2007年04月26日 (木) | 編集 |
問題A
[A-1]次の問いに答えよ
(1) 2a+3a を計算せよ
  =(2+3)a
  =5a

(2) a2×a3 を計算せよ
  =a(2+3)
  =a5

※上の2つの問題の計算の共通点(類似点)を考えよ。
   2+3=5

[A-2]次の問いに答えよ
(1) 2a+3a を計算せよ

  =(2+3)a
  =5a   

(2) 1/2a+1/3a を計算せよ
  =(1/2+1/3)a
  =(3/6+2/6)a
  =5/6a

※上の2つの問題の相違点、共通点を考えよ。
整数倍のときは加法の定義にさかのぼってやる方法も有力だが、
分数の場合は分配法則に従い計算したほうが両方簡単に計算できる。

つまり、
(1)の問題を解く際には(a+a)+(a+a+a)=5aもラクチン♪だけれど、
(2)の問題をそうやって解くには
(1/6a+1/6a+1/6a)+(1/6a+1/6a)=5/6aと面倒臭くなる、
(1/2+1/3)a=(3/6+2/6)a=5/6a としたほうがスムースということ。

[A-3]次の問いに答えよ
(1) 2a2+3a2 を計算せよ

  =(2+3)a2
  =5a2

(2) 1/2(a+b)3+1/3(a+b)3 を計算せよ
  =(1/2+1/3)×(a+b)3
  =5/6(a+b)3

※[A-2]の問題との相違点、共通点を考えよ
a2 や(a+b)3 が出てきて、[A-2]の問題よりも一見複雑になっているように見えるのが相違点。
a2 や(a+b)3 を x などに置き換えてやると、[A-2]の問題と同じと言えるところが共通点。

つまり、
(1)の問題 2a2+3a2 で、x=a2 と定めてやると、
 =2x+3x
 =(2+3)x
 =5x     ・・・と解くことが出来る。

(2)の問題 1/2(a+b)3+1/3(a+b)3 で x=(a+b)3 と定めると、
 =1/2x+1/3x
 =(1/2+1/3)x
 =(3/6+2/6)x
 =5/6x    ・・・と解ける。

その後、定めたxの値を戻せば良い。

[A-4]分配法則
      A×(B+C)=AB+AC, (A+B)×C=AC+BC
      を用いて、次の問いに答えよ

(1) 1/2(a+b)+2/3(2a+3b) を計算せよ
  =1/2a+1/2b+4/3a+6/3b    ←分配法則を使って式を展開
  =(1/2+4/3)a+(1/2+6/3)b  ←分配法則(逆)を使って式をまとめる
  =(3/6+8/6)a+(1/2+4/2)b
  =11/6a+5/2b

(2) (a+b)(2a+3b) を計算(展開)せよ
  =2a2+3ab+2ab+3b2
  =2a2+5ab+3b2

 なんだけど・・・この場合、上記の分配法則を使えとあるので、
  (a+b)(2a+3b) の式で、A=(a+b)と置き換えて、
  =A(2a+3b)
  =2Aa+3Ab  ・・・と分配してからAを(a+b)に戻し、

  =2(a+b)a+3(a+b)b
  =2a2+2ab+3ab+3b2
  =2a2+5ab+3b2  ・・・とする。

こうまでして言いたいことは、「展開の基礎に分配法則がある」ということ。

(3) (a+b)3 を計算(展開)せよ
   (a+b)3
  =(a+b)(a+b)(a+b)  ←とりあえず乗法公式(1)-1を使う
  =(a+b)(a2+2ab+b2
  =(a32a2bab2)+(a2b2ab2+b3)  ←同類項を計算する
  =a3+3a2b+3ab2+b3  乗法公式(2)-1になっている

ちなみに・・・
(a+b)(a+b)(a+b) ←この式の項は a と b の2個の3乗で23=8個
a3+3a2b+3ab2+b3 ←この解の項も、
a3+(a2b+a2b+a2b)+(ab2+ab2+ab2)+b3 とすれば8個、
そして、
a3+3a2b+3ab2+b3 の係数が1,3,3,1で合計8となるのは、
偶然ではなく必然なのだそう。

良いわぁ~、「偶然ではなく必然」。
なんかドキドキする言葉やわ(違)

だから?
それでお茶が沸かせるのか?
それで暮らしが楽になるのか?
と言われれば、特に何の役にも立たないんですが(笑)。

ていうか演習問題、問題Cまであるんですよね。
しかもまだ1講義目・・・あはっw


テーマ:数学
ジャンル:学問・文化・芸術
2007年04月25日 (水) | 編集 |
乗法公式(1)
1,(a+b)2=a2+2ab+b2
  (a-b)2=a2-2ab+b2
2,(a+b)(a-b)=a2-b2  ←和と差の積の公式という
3,(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
4,(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+dc)x+bd

乗法公式(2)
1,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
  (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
2,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
3,(a+b+c)(a2+b2+c2-bc-ca-ab)=a3+b3+c3+3abc

乗法公式(3)
1,(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+……+a2bn-3+abn-2+bn-1)=an-bn

テーマ:数学
ジャンル:学問・文化・芸術
2007年04月25日 (水) | 編集 |
整数を広辞苑で調べたら、
「1から始まり、次々に1を加えて得られる数(自然数、正の整数)、及びこれらに-1を乗じて得られる負の数(負の整数)及び0の総称」って書いてある。

2007年04月22日 (日) | 編集 |
「神菜、頭をよくしてあげよう」
 大槻ケンヂ
 角川文庫
 2003年12月発行
 499円
 ジャケ買いした。中身関係なし(笑)。
 オーケンの最も好きな言葉は「行雲流水」。
 のほほんと読むらしい。
 もっとも嫌いな言葉は「力関係」。
 力関係だけでなく、常識やお金や名声、
 その他いろんなものに執着せず生きる。
 (但し、音楽にだけはこだわっている様子)
 それってこういうことかーっていうエッセイ。

印象的だったのは、失恋した時にこう思えばふっ切れると書いてあったこと。

「でも、やれたからいいか」

おいっ(笑)。
「本当にそうではないか。セックスという高みに一度でも相手と上ることができたなら、そこに至るまでの過程で充分にドラマを人は経験しているのだ。」
まー、そうとも言うけど。
そうなんだろうけども。

そして、「でもやってないし!」っていう人たちのためにオーケンはこう言っている。
「そういう場合は、二人の関係の頂点と思える段階を『やれたから』の部分に置き換えてみると良い。」
「でも、キスしたからいいか」
「でも、手をつなげたからいいか」
「でも、ドライブに行けたからいいか」
「でも、映画を観たからいいか」
   ・
   ・
   ・
「でも、出会えたのだからいいか」
「でも、そこにいてくれたのだからいいか」
そして、
「でも、元気でいてくれればいいか」

「確かに心からそう願っていたことを、思い出すはずだ。」
・・・確かに。
それは確かにそうだ。
だんだんと欲張りになっていた自分にハッとしたりは、する。

でもやっぱ失恋はどうしたって辛いと思う。
手をつなげないのも、なんとも思ってないって言われるのも、話せなくなるのも、メールできなくなるのも、忘れられるのも、悲しい。
元気で幸せでいてくれたら良いけれど・・・良いんだけれど、それだけじゃやっぱヤダーっ(でも、どうしようもない)って、うだうだぐるぐるジタジタする。
ふっ切れることなんてない。
時間だけが唯一の、飲みたくない薬なのだ。

ていうかオーケン、何となく、微かに、そこはかとなく、私の好きな人の香りが漂ってた。
微笑ましくて、あったかくて、ちょっと悲しかった。
沖縄に、のーまんじゅうっていうお饅頭があるって書いてあったから、行ったら絶対食べようと思う。

テーマ:読んだ本。
ジャンル:本・雑誌
2007年04月20日 (金) | 編集 |
数学再入門、1式とはなにか(その1)のコメント欄でのきうちんの疑問について考える。
指数法則  aman=am+n 、 (amn=amn 、 (ab)n=anbn
なお、n=0やnが負の整数になる場合にも次のように、na、anを定義することが出来る。
0a=0、 (-n)a=-na、 a0=1、 a-n=1/an
こう規約することにより、上に述べた指数法則は、m、nが正の整数でない場合にも成り立つ。
テキストに書かれていた上の法則、定義に対するきうちんの疑問
『「>こう規約することにより、上に述べた指数法則は、m、nが正の整数でない場合にも成り立つ。」の部分が、細かな説明をすっ飛ばされている気がします…。どういう意味なんだろう?』

きうちんの疑問に対するlep先生の応え。
「これらの規約は抽象化を一段階上げるためのものです。」詳しくはこちら

lep先生の応えにより、負の整数の場合も定義しておいたほうが広がりがあるのは何となく分かった。
けれど、定義しないとどうなんだろう?とちょっと疑問。
で、やってみる。

指数法則  aman=am+n 、 (amn=amn 、 (ab)n=anbn
mやnが負の整数の場合、例えば m=-3、 n=-2 とすると。
■a-3a-2 = a{-3+(-2)} = a-5
■(a-3-2 = a-3×-2 = a6 (←違う気がする・・・)
■(ab)-2 = a-2b-2

これに
0a=0、 (-n)a=-na、 a0=1、 a-n=1/an
という定義を当てはめてみる。
■a-3a-2 = 1/a3×1/a2 = 1/a5
■(a-3-2 
 ややこしいのでまず(a-3)をxに置き換える。
 x-2 = 1/x2
 xを(a-3)に戻す。
 1/(a-32 = 1/a{-3×2} = 1/a-6 = 1/1/a6
 または
 1/(a-32 = 1/(1/a3×1/a3) =  1/1/a6
■(ab)-2 = a-2b-2 = 1/a2×1/b2 = 1/ab2

2番目、3番目の計算は自信がないw、ので a-5 と 1/a5 で見てみる。
例えば a=5 ってなった時。
5-5は計算できない。(出来るのかもだけど、知らない)
55だったら、5×5×5×5×5=3125って出来るけど、-5乗って・・・?
やっぱり定義が要るのだと思う。


★★★ちなみにmが負でnが0の場合も考えてみた★★★

指数法則  aman=am+n 、 (amn=amn 、 (ab)n=anbn

mが負でnが0の場合、例えば m=-3、 n=0 とすると。
■a-3a0 = a-3+0 = a-3
■(a-30 = a-3×0 = a0
■(ab)0 = a0b0

なんだかな~・・・
確かに定義がないと a の値が定まってもこれ以上進めない・・・気はする。

とりあえず、
0a=0、 (-n)a=-na、 a0=1、 a-n=1/an
という定義を当てはめてみる。

■a-3a0 = 1/a3×1 = 1/a3
(a-30 = a-3×0 = a0
  ↑すでにこの時点で、定義により1となるが、計算後でも1。
(ab)0= a0b0
  ↑同じく、すでにこの時点で定義により1。
   計算を進めても、1×1=1。

テーマ:数学
ジャンル:学問・文化・芸術
2007年04月19日 (木) | 編集 |
数式の基本概念

単項式
上の式のように、数といくつかの文字の積として表される式を単項式という。
単項式において、掛けられている文字の個数をその単項式の次数
文字以外の部分を係数という。
一番上、次数3(xが3個)、係数1。
二番目、次数7、係数-2。
三番目、次数4、係数3。

3次の整式   分数式、有理式
左は次数3、係数2/3の単項式。
右は単項式とは言わず、分数式ないし有理式と呼ばれる・・・らしい。
分数の分母に文字を含むものは単項式ではない。


ここからが少しややこしかった。
教科書どおりに書いてみます。

2種類以上の文字を含む単項式においては、ある特定の文字に着目して、他の文字を係数と同じようにみなして取り扱うことがある。
例えば下記の式。
3Xの2乗~
文字xに着目すると次数が2、係数が3yzの単項式であり、
文字xとyに着目すると、次数が3、係数が3zの単項式である。

もうね、意味不明。

「他の文字を係数と同じようにみなして」って書いてあって、係数の説明に「文字以外の部分を係数という」って書いてて、
係数が3yz

おちょくっとんのか?・・・と(笑)。
yzは文字ではないのですか?・・・と。

■Alternative Math Club「用語の定義
↑このサイトが無ければ、長岡先生に電話して突っ込んでいたかも知れない。
悪いけどこの教科書、あんまり出来が宜しくない気がするよ・・・。

やり方ですが。
上記サイトによると、「特定の文字に着目すると,他の文字は数字と同じ(次数0の定数)と考えます。」ということなのだそう。
着目する文字以外をカッコで括り、着目する文字をお外に出す方法はかなり分かりやすい。

xに着目   xとyに着目
左、文字xに着目すると、次数が2、係数が3yzの単項式である。
右、文字xとyに着目すると、次数が3、係数が3zの単項式である。

分かりやすい。
こういう風に教えてもらえると私でもついていける。
かなりスローペースではあるけれど。

あとは公式を覚えて、演習問題をやってみて、やっとこさ1回目の講義が終わる。
たぶんこの後ついていけなくて単位を落すだろうと思う。
半年で15回の講義に着いていくのは私には無理だ。
だってこの後、関数、三角関数、ベクトル(って数学なの?)、微分積分、解析幾何(・・・って何?)ってのがズラズラ~っとやってくるわけだし。

単位を落すのは自分の選択ミスだから仕方ないけれど、勉強は続けたい。
この教科書を自分のペースで進めて、最後までやれたら良いなって思う。
数学、苦手だけど面白いかも。


2007年04月18日 (水) | 編集 |
式の規則

a×b は ab と表す。
a÷b は a/b と表す。
が、12は1×2ではない。(←当たり前って思ってるとこがなんかすごい。)


a+a=2a、a+a+a=3a、a+a+a+a=4a・・・と表す。
a を n 個足した時、naと表すことができる(★)

ma+na=(m+n)a →m個のaとn個のaを足す。
n(ma)=nma → (ma)+(ma)+(ma)・・n個あるから乗する。

0点頭としては、ここで既に+と×がごっちゃになって混乱してしまいました(笑)。
パターンが二つあるってのが。
つまり、n=3で考えた時、
a を 3個足した3aである(a+a+a=3a)と、
a を 3回足した3aである(3×a=3a)と。

どっちも3a・・・ややこしい><・・・くないですかw?


a×a=a2、a×a×a=a3、a×a×a×a=a4・・・と表す。
a を n 回かけた時、an 、(aのn乗)と表すことができる(★2)

a<sup>m</sup>×a^n=a<sup>(m+n)</sup>、
 =am×an=a(m+n)

  →aをm回かけたものとaをn回かけたものをかけるということは、
   例えばm=3、n=4の場合、(a×a×a)×(a×a×a×a)ってこと。
   だから、a(3+4)=a7となる。

(a<sup>m</sup>)^n=a^mn
  →(am)×(am)×(am)×・・n回、
   aをm回かけたものをn回かけるということ。
   例えばm=3、n=4の場合、 
   (a×a×a)×(a×a×a)×(a×a×a)×(a×a×a)ってこと。
   だから、a(3×4)=a12となる。

(ab)^n=a^n×b^n
  →(a×b)×(a×b)×(a×b)×・・n回、
   a×bをn回かけるということ。
   例えばn=4の場合、 
   (a×b)×(a×b)×(a×b)×(a×b)=a4×b4


問題はここから。
教科書を丸ごと写してみる。

指数法則







上の規則は、より厳密に表せば、

□加法
 1a=a
 na=(n-1)a+a (n=2,3,4…)
□乗法
 a1=a
 an=an-1×a (n=2,3,4…)

ということである。
なお、n=0やnが負の整数になる場合にも次のように、na、anを定義することが出来る。

0a=0、 (-n)a=-na
a0=1
a-n=1/an

こう規約することにより、上に述べた指数法則は、m、nが正の整数でない場合にも成り立つ。
厳密には、このような定義に先立って、負の数や分数の定義が必要であるが、ここでは常識として済まそう。

・・・・・ややこしいったらありゃしない!
na=(n-1)a+a
n=2の場合、2a=(2-1)a+a
って、確かにそうはなるけれども!
なんでわざわざややこしくするんだろう?それが謎だ・・・。

ここの概念が大切な気がするから、赤にしとく。
ここんとこが何故かを調べなければ・・・。

この定義の理論的な背景には加法、乗法についての結合法則がある。
(a+b)+c=a+(b+c)(a×b)×c=a×(b×c)

理論的な背景ですか・・・。
何となくは分かる。
カッコで括っていった方が見やすい気はする。
a×a×a×a×a×a×a×a×a×a×a×a ってするより、
(a×a×a)×(a×a×a)×(a×a×a)×(a×a×a)って括ったり、
aの12乗ってしたほうが見やすいし早かったりする。
・・・て、そういうことではないんだろうか?

0点頭にとって、式が省略されているのは難解だ。
一個一個進んでくれないと分からなくなる。
でも、数学は慣れのような気がしてきた。
慣れればたぶん難解ではなくなるんだろう。
阪神の影にいた南海ホークスが南海でなくなり福岡ソフトバンクホークスに変わったように、私もうだつのあがらない0点頭Oh!no!!から華麗なる数乃姫に変身したい。

・・・っつーか、まだ1回目の講義分も終えてないし!><
道のりは長い・・・


テーマ:数学
ジャンル:学問・文化・芸術
2007年04月05日 (木) | 編集 |
皆さんはテストで0点取ったことあります?

私は高校の時、数学で取りました。
もう、取るべくして取りました。
私も何も言えなかったけれど、先生も何も言いませんでした。
問題用紙に書いてある、すべてのことが謎でした。

そしてそのまま今まで、数学30点以下の世界で生きてきました。
サイン・コサインって言葉、響きが良いやん、イケメンお笑いコンビっぽいなーw
・・・っていう世界で、見事に生き抜いてきました。(エッへン!)

そんな私が放送大学で「数学再入門」という講義を見つけました。
説明には、
「肝腎なことは、数学の理論を広い視野から展望して意味を理解することである。」
って書いてありました。
「数学的な概念、理論、方法を省略して教える学校教育で数学が嫌いなったのはもったいない!そういう理解があって初めて数学は楽しさも有用性も分かってくる。」
というようなことも書いてありました。

そうそう、そうなんですよ!先生っ!!って思いました。
私は例えば、-と-をかけると+になるっていうことが理解出来ません><
学生の頃はそういうものだと無理矢理覚えていたけれど、自分の中で矛盾を感じることは、どうしたって後で無理が出てきて道が違ってきてしまうのです。
公式や展開など、全てにおいてそんな感じ。
苦手だけれど面白そうとは思っていた数学の世界。
これを機に楽しく理解できると良いな~なんて思って講義を取ることにしました。

以下、私のバカっぷりを余すところなく晒してます。
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