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写真、短歌、日々の思ったこと。
2007年04月18日 (水) | 編集 |
式の規則

a×b は ab と表す。
a÷b は a/b と表す。
が、12は1×2ではない。(←当たり前って思ってるとこがなんかすごい。)


a+a=2a、a+a+a=3a、a+a+a+a=4a・・・と表す。
a を n 個足した時、naと表すことができる(★)

ma+na=(m+n)a →m個のaとn個のaを足す。
n(ma)=nma → (ma)+(ma)+(ma)・・n個あるから乗する。

0点頭としては、ここで既に+と×がごっちゃになって混乱してしまいました(笑)。
パターンが二つあるってのが。
つまり、n=3で考えた時、
a を 3個足した3aである(a+a+a=3a)と、
a を 3回足した3aである(3×a=3a)と。

どっちも3a・・・ややこしい><・・・くないですかw?


a×a=a2、a×a×a=a3、a×a×a×a=a4・・・と表す。
a を n 回かけた時、an 、(aのn乗)と表すことができる(★2)

a<sup>m</sup>×a^n=a<sup>(m+n)</sup>、
 =am×an=a(m+n)

  →aをm回かけたものとaをn回かけたものをかけるということは、
   例えばm=3、n=4の場合、(a×a×a)×(a×a×a×a)ってこと。
   だから、a(3+4)=a7となる。

(a<sup>m</sup>)^n=a^mn
  →(am)×(am)×(am)×・・n回、
   aをm回かけたものをn回かけるということ。
   例えばm=3、n=4の場合、 
   (a×a×a)×(a×a×a)×(a×a×a)×(a×a×a)ってこと。
   だから、a(3×4)=a12となる。

(ab)^n=a^n×b^n
  →(a×b)×(a×b)×(a×b)×・・n回、
   a×bをn回かけるということ。
   例えばn=4の場合、 
   (a×b)×(a×b)×(a×b)×(a×b)=a4×b4


問題はここから。
教科書を丸ごと写してみる。

指数法則







上の規則は、より厳密に表せば、

□加法
 1a=a
 na=(n-1)a+a (n=2,3,4…)
□乗法
 a1=a
 an=an-1×a (n=2,3,4…)

ということである。
なお、n=0やnが負の整数になる場合にも次のように、na、anを定義することが出来る。

0a=0、 (-n)a=-na
a0=1
a-n=1/an

こう規約することにより、上に述べた指数法則は、m、nが正の整数でない場合にも成り立つ。
厳密には、このような定義に先立って、負の数や分数の定義が必要であるが、ここでは常識として済まそう。

・・・・・ややこしいったらありゃしない!
na=(n-1)a+a
n=2の場合、2a=(2-1)a+a
って、確かにそうはなるけれども!
なんでわざわざややこしくするんだろう?それが謎だ・・・。

ここの概念が大切な気がするから、赤にしとく。
ここんとこが何故かを調べなければ・・・。

この定義の理論的な背景には加法、乗法についての結合法則がある。
(a+b)+c=a+(b+c)(a×b)×c=a×(b×c)

理論的な背景ですか・・・。
何となくは分かる。
カッコで括っていった方が見やすい気はする。
a×a×a×a×a×a×a×a×a×a×a×a ってするより、
(a×a×a)×(a×a×a)×(a×a×a)×(a×a×a)って括ったり、
aの12乗ってしたほうが見やすいし早かったりする。
・・・て、そういうことではないんだろうか?

0点頭にとって、式が省略されているのは難解だ。
一個一個進んでくれないと分からなくなる。
でも、数学は慣れのような気がしてきた。
慣れればたぶん難解ではなくなるんだろう。
阪神の影にいた南海ホークスが南海でなくなり福岡ソフトバンクホークスに変わったように、私もうだつのあがらない0点頭Oh!no!!から華麗なる数乃姫に変身したい。

・・・っつーか、まだ1回目の講義分も終えてないし!><
道のりは長い・・・


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テーマ:数学
ジャンル:学問・文化・芸術
コメント
この記事へのコメント
>na=(n-1)a+a
これって、×を計算するための定義です。たとえば
3a=(3-1)a+a
=2a+a
={(2-1)a+a}+a
=a+a+a
となって、3aはaを三回足し合わせたものになる。

現代数学は3aというものをaの三倍、と直観的に捉えることを許さず、aにaを足して2a, 2aにaを足して3aと、バカの一つ覚えにstep by stepで計算していく方式を取っている、というのが原理的背景です。

>(a+b)+c=a+(b+c)、(a×b)×c=a×(b×c)。
結合法則は、一言で言えば先に足そう(掛けよう)が後で足そう(掛けよう)が結果は同じ、ということです。

(1+2)+3=6=1+(2+3)
+と×では当然なのですが、-や÷では結合法則は成り立ちません。
(1-2)-3=-1-3=-4
1-(2-3)=1-(-1)=0

>でも、数学は慣れのような気がしてきた。
そうそ。こうした公式は慣れなので、余り深く考えずにさっさと覚えた方が楽です。英語を学ぶ時にも「なぜaとtheがあるんだろう」とか悩んで先に進めない人がいますが、そういう疑問はある程度英語世界に入っていけば自然と氷解するので、それよりも単語や文法に熟知した上で、長文や会話に取り組むべきなのですが、同様なことは数学にもいえて、数学が真に難しくなるのはその公式や定理を使って問題を解いたり記述したりする時なのですね。
2007/04/18(Wed) 09:57 | URL  | leprechaun #-[ 編集]
■lepさん
>>na=(n-1)a+a
>これって、×を計算するための定義です。

そっか・・・。
3a=3×a ではなくて、a+a+a、
na=a+a+・・・n回なのだ!って式なんですね?
+の方法と×の方法がふたつあるって基本的には思っちゃダメってことなのか・・・。

>-や÷では結合法則は成り立ちません。

!!気付いてなかったww
講義でも出てこなかったし。
当たり前のことだけれど、+と×だけ成り立つっていうのが不思議~。

>英語を学ぶ時にも

これ、最初に長岡先生が言ってました。
数学は宇宙を読み解く言語だっていうようなことですが・・・。
まず覚えて、使って、慣れて、その後これはこういう意味だったのかという所まで行くのが望ましい、みたいな。
公式を覚えなきゃ・・・。

lepさん、どうもありがとう。
やっぱり数学って一種の言語みたいなものですね。
lepさんの言ってることと、長岡先生の言ってることと、私の頭の中の理解度が何となく一致した時に、英語が通じた時のような感覚があります。
2007/04/18(Wed) 11:09 | URL  | のー #ftpII.ds[ 編集]
記事の文章をじっと見つめながらダラダラ汗をかいちゃってましたw

このへんの説明って、何回か目にしたことはあるのですが、暗記して次のステップに進んだりするようなことがないのでいつも「その場限りの理解」で終わってしまっていました。

ですから、目にするたびに勉強のし直しという感じになっちゃいますね。

かと言って、これを踏まえて次のステップに進んだとしても、少し長い数式や複雑な数式が出てくると、ここで覚えた法則が一体どこで生かされてくるのか分からないし、また他の法則なんかが混ざってくるとごっちゃになったりします。

それにしても、テキストから写した部分の、

>こう規約することにより、上に述べた指数法則は、m、nが正の整数でない場合にも成り立つ。

の部分が、細かな説明をすっ飛ばされている気がします…。どういう意味なんだろう?
2007/04/19(Thu) 06:48 | URL  | きうり #-[ 編集]
>細かな説明をすっ飛ばされている気がします…。
これらの規約は抽象化を一段階上げるためのものです。

通常の掛算は個数に対して行われますよね。リンゴ2個が3組あったら全部で2×3=6個だという具合に。この場合個数は正数ですから、この掛算は正数についてのものです。

ところがこの条件を取っ払ってしまい、ゼロや負の掛算を考えてみよう、ということなんですよ。

リンゴ2個が0組なら、2×0=0ということにしよう。これはスムーズです。しかし二個が-1組なら、2×(-1)=-2ということにしよう、ということにはならない。つまりここで抽象化の階段が1ステップ上がり、現象学的な生活世界の数学から、デカルト的な抽象世界の数学に抽象化されてしまっているんですね。負の掛算というものが、現実にあるわけではない。ただルールとして取り決めておこう、ということです。

そうすると何のメリットがあるか。用途が広がるんですね。正数の掛算のときは、個数計算にしか使えなかったのに、負数を入れることにより借金計算や座標計算ができるようになる。より抽象的なものは、より普遍的だからです。
2007/04/19(Thu) 12:47 | URL  | leprechaun #-[ 編集]
■きうちん
>目にするたびに勉強のし直しという感じになっちゃいますね。

先生か、よほどの数学好きか、何かの試験に必要でもない限りやりませんからねw
やらないとすぐに忘れると思います。
私の場合は忘れたとかいう以前に、一からですけどw。

>ここで覚えた法則が一体どこで生かされてくるのか分からない

これが数学の面倒な所であり、面白さでもあるんだと思います。
発見というか、気付きというか。

>細かな説明をすっ飛ばされている気がします…。
>どういう意味なんだろう?

きうちんの疑問が、そのまま私の疑問になりましたw
自分で納得するために記事を書いてみました。
なんとな~く理解したような、してないような。
2007/04/20(Fri) 12:19 | URL  | のー #ftpII.ds[ 編集]
■lepさん
>リンゴ2個が0組なら、2×0=0ということにしよう。これはスムーズです。
>しかし二個が-1組なら、2×(-1)=-2ということにしよう、ということにはならない。

相変わらず分かりやすかったです(笑)。
きうちんに質問されても私に答えられるはずもなく・・・。
助かりました、ありがとうございます。

定義がないとどうなん?って疑問に思い、自分でちょっと考えてみました。
計算の仕方もまだ慣れていないので間違ってそうですがe-263、何となくw、定義は要るな・・・って結論に達しました。
2007/04/20(Fri) 12:24 | URL  | のー #ftpII.ds[ 編集]
>定義がないとどうなん?
定義がない計算は、してはいけないんです。コンピュータのプログラムのようなもので、予め取り決めておいた以上のことをしてはならない。

この点が語学と数学の大きな違い、決定的な違いですね。語学は類推がきくし、それをすることが暗黙裡に推奨されている。しかし数学はそのような暗黙知を徹底的に排除し、明確に、機械的に構築されているのです。
2007/04/20(Fri) 13:48 | URL  | leprechaun #-[ 編集]
■lepさん
>定義がない計算は、してはいけないんです。

なるほど~、妄想想像で進めて行ってはいけないのですね?
それ以上進むには取り決めが必要なんだ・・・。
自分がロボットにでもなった気になってしまいそう。
「ココカラサキハデキマセン」みたいなw
すごくキッチリとした世界ですね。無機質な感じ。
生命とか感情とかとはまた違う美しさがあるといえばある・・・。

にしても0を掛けると0になるとか、定義を作った人ってすごいですね。
その定義の上では一切の矛盾なし・・・矛盾がないように定義する訳ですよね。
時間かかりそう><
2007/04/20(Fri) 17:21 | URL  | のー #ftpII.ds[ 編集]
あ~~ごめんなさい、この記事のコメントや、さらに先の記事でもかなり丁寧な説明を頂いておいて申し訳ないんですが、実はまだここから先に進めずにいますv-12

詰まっているのは、テキストの文章を写したという部分でして…。

写真の指数法則を、どういうふうに「厳密に表」せば、その下の加法と乗法の式が出てきて、「ということである」と言えるのかが全く分からないんです。

「ということ」と言っているんだし、指数法則をいじり回すと、加法と乗法の定義が出てくるという「こと」なのかな…。これって加法と乗法が先にあって、それから指数法則が出てきてるんじゃないですよね?

でも、n=0やnが負の整数になる場合にもnaやanに関する定義を作ることができて、その定義(規約と同じ意味?)のおかげで指数法則が成り立つって言っているわけですから、定義が指数法則を成り立たせているんでしょうか…それとも指数法則を成り立たせるための定義ということなのかな。

あれ? でも定義の背景にあるのは指数法則じゃなくて結合法則があるんですよね~~…。僕も数学の本を出してこなくちゃ…
2007/04/20(Fri) 22:12 | URL  | きうり #-[ 編集]
■きうちん
項目が明確に分かれてなくて、どこからどこまでの説明がどれなのかが分かりづらいテキストなんです・・・。

加法の式{ 1a=a 、 na=(n-1)a+a (n=2,3,4…)} については指数法則には関係ない、というか加法はたぶん、最初のほうに出てきた、
ma+na=(m+n)a と、n(ma)=nma について説明しているんだと思う。

ma+na=(m+n)a で、m=2、n=3だった場合、
2a+3a=(2+3)a=5aだけど、それはつまり、
2個のaと3個のaを足す、
(a+a)+(a+a+a)=5a なのだって言ってる。
そしてその背景には結合法則(やりやすくカッコでくくってる)があるという・・・。

指数法則について「ということである」って言ってるのは、たぶん乗法の式{ a1=a 、 an=an-1×a (n=2,3,4…)} の方だと思います。
つまり、指数法則は何だかんだ言ってるけれど、所詮は a^n=a×a×・・n回ってのが基本になっているのだ、と言いたいのかなと思いました。
これについてもその背景には結合法則(やりやすくカッコでくくる)があるように思います。

まずa+a+a・・・やa×a×a・・・があって、それを結合法則によりカッコでくくって(正の整数である場合の)指数法則が成り立ち、その後、n=0やnが負の整数になる場合の定義をすることによって、n=0やn=負の整数になっても計算できるようになる、という順のように思います。

>n=0やnが負の整数になる場合の定義

これによって指数法則が成り立っているのではなくて、これがない場合、正の数だけにしか指数法則が使えないということだと思います。

ごめん、わかりにくいかも・・・><
2007/04/21(Sat) 00:08 | URL  | のー #ftpII.ds[ 編集]
~乗ってのは、どうやってHP上で書くのですか??このコメント欄でもかけるのかな??
n×n×n=n3 ・・・。n^3・・・。
2007/04/21(Sat) 14:44 | URL  | パソ #-[ 編集]
■パソさん
私も検索しても分からなくて、教えてもらって初めて知りました。
「aのn乗」の表示は、<sup></sup>の間に、○乗の○の部分を入れれば本文のような表示になります。
a<sup>3</sup>はaの3乗で表記されます。
残念ながら、コメント欄では使えないようです><
2007/04/21(Sat) 19:06 | URL  | のー #ftpII.ds[ 編集]
>のーさん
ありがとうございます。大丈夫です、いけます。今の説明でやっと頭の中で整理がついてきました!

引き続き、数学シリーズを読ませてもらいますね。
2007/04/21(Sat) 20:19 | URL  | きうり #-[ 編集]
■きうちん
いけた!?
良かった~・・・って、ほんと実生活には何の役にも立たないかもだけどね(笑)。

数学が趣味となりえなくて、また遠のくことがあっても、根っこの所にa+a+a・・・やa×a×a・・・があるっていうことだけは忘れない気がします(笑)。
2007/04/21(Sat) 23:11 | URL  | のー #ftpII.ds[ 編集]
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