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写真、短歌、日々の思ったこと。
2007年04月20日 (金) | 編集 |
数学再入門、1式とはなにか(その1)のコメント欄でのきうちんの疑問について考える。
指数法則  aman=am+n 、 (amn=amn 、 (ab)n=anbn
なお、n=0やnが負の整数になる場合にも次のように、na、anを定義することが出来る。
0a=0、 (-n)a=-na、 a0=1、 a-n=1/an
こう規約することにより、上に述べた指数法則は、m、nが正の整数でない場合にも成り立つ。
テキストに書かれていた上の法則、定義に対するきうちんの疑問
『「>こう規約することにより、上に述べた指数法則は、m、nが正の整数でない場合にも成り立つ。」の部分が、細かな説明をすっ飛ばされている気がします…。どういう意味なんだろう?』

きうちんの疑問に対するlep先生の応え。
「これらの規約は抽象化を一段階上げるためのものです。」詳しくはこちら

lep先生の応えにより、負の整数の場合も定義しておいたほうが広がりがあるのは何となく分かった。
けれど、定義しないとどうなんだろう?とちょっと疑問。
で、やってみる。

指数法則  aman=am+n 、 (amn=amn 、 (ab)n=anbn
mやnが負の整数の場合、例えば m=-3、 n=-2 とすると。
■a-3a-2 = a{-3+(-2)} = a-5
■(a-3-2 = a-3×-2 = a6 (←違う気がする・・・)
■(ab)-2 = a-2b-2

これに
0a=0、 (-n)a=-na、 a0=1、 a-n=1/an
という定義を当てはめてみる。
■a-3a-2 = 1/a3×1/a2 = 1/a5
■(a-3-2 
 ややこしいのでまず(a-3)をxに置き換える。
 x-2 = 1/x2
 xを(a-3)に戻す。
 1/(a-32 = 1/a{-3×2} = 1/a-6 = 1/1/a6
 または
 1/(a-32 = 1/(1/a3×1/a3) =  1/1/a6
■(ab)-2 = a-2b-2 = 1/a2×1/b2 = 1/ab2

2番目、3番目の計算は自信がないw、ので a-5 と 1/a5 で見てみる。
例えば a=5 ってなった時。
5-5は計算できない。(出来るのかもだけど、知らない)
55だったら、5×5×5×5×5=3125って出来るけど、-5乗って・・・?
やっぱり定義が要るのだと思う。


★★★ちなみにmが負でnが0の場合も考えてみた★★★

指数法則  aman=am+n 、 (amn=amn 、 (ab)n=anbn

mが負でnが0の場合、例えば m=-3、 n=0 とすると。
■a-3a0 = a-3+0 = a-3
■(a-30 = a-3×0 = a0
■(ab)0 = a0b0

なんだかな~・・・
確かに定義がないと a の値が定まってもこれ以上進めない・・・気はする。

とりあえず、
0a=0、 (-n)a=-na、 a0=1、 a-n=1/an
という定義を当てはめてみる。

■a-3a0 = 1/a3×1 = 1/a3
(a-30 = a-3×0 = a0
  ↑すでにこの時点で、定義により1となるが、計算後でも1。
(ab)0= a0b0
  ↑同じく、すでにこの時点で定義により1。
   計算を進めても、1×1=1。

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テーマ:数学
ジャンル:学問・文化・芸術
コメント
この記事へのコメント
>5-5は計算できない。(出来るのかもだけど、知らない)
そう、5^-5は正数の範囲では定義されてないので、これ以上は計算できないんです。これを計算するにはa^-n=1/(a^n)と定義しないとならない。

定義→計算、ちうのが数学の取り決めなのよ。この取り決めに従えば、
5^-5=1/(5^5)=1/3125
となります。
2007/04/20(Fri) 13:44 | URL  | leprechaun #-[ 編集]
■lepさん
>定義→計算、ちうのが数学の取り決めなのよ。

書いてある定義どおりに順を追ってやっていき、行き着いた先で終わり!か、また定義をして(出来たら)先に進むか・・・なんですね。
私はいつも途中で計算間違いをしてしまうので、そこが問題です。
2007/04/20(Fri) 18:38 | URL  | のー #ftpII.ds[ 編集]
1000000人の数学
 略 小生も数学は嫌いではないけれど、
「ブログ」さ書く数式の表現、漢文(白文)の訓点、庶幾ばそのやり方を、ご教授下され。ペコリ。  tani 山人九拝

2007/04/20(Fri) 21:31 | URL  | tani #-[ 編集]
■tani さん
私も教えてもらったのですが、「aのn乗」の表示は、
<sup></sup>の間に入れた数が乗になります。
a<sup>3</sup>はaの3乗で表記されます。
コメント欄では使えないようなので、a^3とします。

漢文(白文)の訓点については画像やワードなどの表記以外、見たことがないです・・・。
2007/04/20(Fri) 23:23 | URL  | のー #ftpII.ds[ 編集]
あああ~なるほど。って、本当に僕は理解できていて、先へ進めるかどうかは分かりませんが、とりあえず本稿の文章を読んで成る程と思いました。

まず結合法則があって、それに基づいて定義の形が決まって、その結果として指数法則も法則として固まってくる…ということなんですよね?
2007/04/21(Sat) 20:45 | URL  | きうり #-[ 編集]
■きうちん
>本当に僕は理解できていて、先へ進めるかどうかは分かりませんが

同じく(笑) ←あかんやろw

>まず結合法則があって、それに基づいて定義の形が決まって、その結果として指数法則も法則として固まってくる…ということなんですよね?

もっと間に入れると、
まず結合法則(←これも定義の一つ?)、それに基づいて指数法則(正の整数のみ)が成り立ち、そして0と負の定義が定められ、指数法則が固まる・・・て感じに理解してます。

ちなみに、次の2講義目は「数とはなにか」です。
講義の感想は「ど・・・どうしよう?何これ?」・・・です T T
2007/04/22(Sun) 00:13 | URL  | のー #ftpII.ds[ 編集]
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指数演算って何かというと、a^n = a*a*....*a (aのn回積)で定義されます(a, nは正数とする)。これは、指数を計算するには掛算が必要になる、ってことを示しています。では掛算は何かというと、a*b = a+a+...+a (aのb回和)で定義され、つまりは足し算に還元されます。
2007/04/21(Sat) 21:51:57 |  leprechaun